Função Modular

Módulo

Antes de falar da função modular, vamos relembrar a definição e como calcular o módulo de um número. O módulo é a distância de um determinado número até o zero. Por exemplo, o módulo de 13 é a distância entre o 13 e o 0. Para nos deslocarmos do 13 ao 0, andaremos 13 unidades. Portanto, o módulo de 13 é igual a 13. Ou ainda: |13| = 13. Sendo assim, qual será o módulo de -13? Bem, a distância do -13 ao zero é também de 13 unidades. Então, |-13| = 13. 

Vejamos alguns outros exemplos:

|-4| = 4

|690| = 690

|23,41| = 23,41

|-log2| = log2

|78| = 78

|-π| = π

Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:

|x| = x, se x for positivo. 

|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 

|x| = x, se x>0 

|x| = -x, se x<0

Por exemplo: 

Na equação |x² - 6x| = 9.

Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim, 

x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9

Resolvendo cada uma das equações:

x² - 6x - 9 = 0
x = −(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√

ou

x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3

Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.

Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:

Sabemos que:

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0

Então: 

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6

E por fim,

→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)